労災保険制度には「特別加入制度」があるのをご存じでしょうか。
これは労働者以外の方のうち業務の実態や災害の発生状況からみて労働者と同様に保護することがふさわしいと見なされる人に一定の要件で労災保険に加入することを特別に認めている制度です。

具体的には中小企業の事業主・一人親方・特定作業従事者・海外派遣者の4種類があります。
美容室に関係してくるのは「中小企業の事業主」という部分でしょう。
事業主は労災保険に加入することはできませんが中小企業（個人事業を含む）の事業主の方が加入を希望すれば労災保険に入ることができます。
ただし、こちらは「労働保険事務組合」を通してのみ加入できる制度です。

また美容室では業務委託の方に仕事をお願いしているところもあるのではないかと思います。
現在ではその方はお店でケガをしても補償はありません。
労災保険の特別加入のフリーランス対象は現在、IT作業者・自転車を使用した貨物運搬・芸能関係者等に限られています。
ただし今後は全業種を対象とする方向で国が審議を進めているようです。
早ければ2024年の秋に運用が開始される見通しとのことですので今後のニュースに注目していきましょう。